投資不懂概率 永遠摸不到賺錢的真谛

2019-08-12 投資觀察 2973 ℃ 0 評論

股票投資的本質就是概率的遊戲,如果你連這個本質都不懂也不學,又如何炒股成功呢!

——坤鵬論

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巴菲特總是聲稱自己非常幸運,1930年出生于美國,這個出生時空組合的概率是 30:1,而他降生的那一刻就好比中了彩票。

坤鵬論在不斷學習概率後,深感理解它對于股票投資之重要。

正如哲人所說:“概率是生活的向導。

同樣,概率也是投資的最好向導。

可以說,如果你不懂概率,那将永遠無法觸摸到投資的本質與真谛。

比如:你根本不明白為什麼要交易少,為什麼要長期持有。

于是,你聽什麼都認為有道理,看什麼都覺得人家挺牛。

但是,到了自己去做投資決策時,又總是感到迷茫,不知該如何是好。

有這種不知所措非常正常,正是概率讓股市永遠都是霧裡看花。

也正是概率,讓所有人,包括所有投資大師,在投入金錢時,無對,也無錯!



一、何為概率

當我們不太确定一件事情,卻想表達一下自己的意見時,經常會說“大約”、“可能”之類的詞語。

當我們想更進一步表達并做出量化時,比如:A球隊出線的可能高達80%,這次考試有40%的幾率得100分……

這個時候,你就開始和概率打交道了。

概率,就是可能性,是風險的數學語言。

一隻豬生出一隻鳥的可能性有多大?我們将這個概率定為0。

太陽明天從東方升起的可能性有多大?我們将這個概率定為1。

在概率論中,所有事情發生的可能性将介于0~1之間,而這種可能性主要用百分比來表述,而确定這個數值就是概率論主要研究的。

我們常常猜想事情發生的可能性,而概率就像猜測。

理查德·費曼說:“有高明的猜測,也有拙劣的猜測,概率論就是研究如何作出高明猜測的系統。

概率總是帶着雙重含義,一個着眼于未來,另一個解釋過去,一個與我們的觀點有關,另一個與我們确實所知的情況有關。

我們可以通過相對頻率,也就是事件在過去相似情況下發生的頻次預測概率。

也可以根據以往的經驗進行有根據地猜測。

或者利用一切相關的重要信息和手邊的證據進行預測。

還可以計算可能性結果的數量,比如:某個地方97年來,發生了36次飓風,根據這個曆史記錄,排除未來變化的可能性,我們預期該地每年發生飓風的概率是36÷97=37%。


二、概率的最早發現者
概率最早的發現者是16世紀意大利數學家、物理學家、醫學家——卡當(又譯為卡爾達諾)。


由于他長年醉心于遊戲和賭博,堪稱賭徒中的賭徒,更可謂擲骰子、弈棋、打牌無所不能。

不過,他也着實沒少輸錢,并得出了最早對賭博的警世恒言:“賭博最大好處來自于從不進行賭博。

話說,賭徒誰不想把把赢?卡當也不例外。

因為當時擲骰子最流行,而且是同時擲兩顆骰子,所以卡當運用自己的數學知識試圖計算出,在多少點上下注最為有利。

經過不斷演算和實驗,他列了個表,得出了黃金數字——7。

也就是7是出現次數最多的和數,36種可能中共出現6次,概率為1/6。

卡當可能是曆史上第一個對機會性賭博進行認真分析的人,并著有論文——《關于機會性賭博的著作》。

他在論文中并沒有使用概率一詞,而是大部分均用“機會”代替。

這就是人類有史料記載的概率論萌芽,同時也是人類已知的第一次試圖對風險進行衡量所做的努力。

後來,大概在1623年,發明鐘擺和溫度計的意大利數學家、物理學家、天文學家伽利略,也寫了一篇關于賭博的短文,題目為《論擲骰子遊戲》,不過這篇并非他自願的,而是來自上層的壓力,因為他不好賭,覺得賭博沒有任何意義。

在這篇短文中,伽利略也考慮了擲一個或更多骰子的試驗,并對各種不同組合以及結果的種類出現的頻率總結出了一般規律。

這證明,到1623年的時候,概率的賭博性概念已經在很大程度上建立起來了。



三、概率論的奠基人

随着人們對賭博概率的興趣在法國傳播開來,然後又傳到瑞士、德國以及英國,關于概率和風險的新思想很快地産生出來。

時間到了17世紀中葉,歐洲貴族依然賭性不減,擲骰子的遊戲風靡上流社會。

于是促使概率論誕生的兩個賭博問題出現了,一個是德·梅雷問題,另一個是分賭注問題。

包括這兩個問題在内的一些賭博問題難倒了不少數學家,最後被提到了當時法國最厲害的數學家、物理學家,并有神童之稱的布萊士·帕斯卡那裡。

光是分賭注這個問題,就難了帕斯卡三年之久,直到1645年,他終于有了些眉目。

由于還不能完全确定,于是他開始在和另一位數學家——皮埃爾·德·費馬通信中讨論這個問題。



費馬是位成功的律師,兼數學家,其博學幾乎達到了可怕的程度,可以講歐洲任何一種主要的語言,甚至可以用其中一些語言寫詩,他還是希臘和羅馬文學的評論家,還是研究偏僻領域的數學家、分析幾何的獨立創始人,對微各分的早期發展做過貢獻,研究過地球的重量,并對光的折射和光學進行了研究。

費馬最大的成就是數論——每個單獨數學與其他所有數學之間關系的結構分析,可以說這些關系中有着無窮的奇妙性,即使到今天人們對其也沒有完全研究清楚,而其最著名的成就則是提出了“費馬大定理”。

最終帕斯卡和費馬分别用不同的數學方法對這個問題解出了同樣的答案。

帕斯卡用的是幾何方法,費馬用的是代數方法。

而帕斯卡更具創造性,他使用了一個幾何模型來表現其基礎的代數結構。

這種方法簡便而且适用于概率問題上很多模型的應用。

但是,這種幾何代數後面所蘊含的基本數學概念早在帕斯卡和費馬之前就存在了。

1303年,一位叫朱世傑的中國數學家,在沒有憑借任何前人努力的基礎上,通過一種他稱之為“四元素鏡子”的方法解決了這個問題。

朱世傑的“鏡子”現在被稱為“帕斯卡三角”。

正像後人所評價的:“1654年,帕斯卡和費馬之間的通信,在數學和概率論上具有劃時代的意義。

他們相互來往的信件發展了概率論的基本原理。

在解決了分賭注這個問題的同時,帕斯卡和費馬構建了一個系統,能确定數種或有結果的可能性,比如:你喜歡的球隊在首戰失利後,赢得世界杯的可能性。

這個系統就是概率論的基本概念——數學期望。

在概率論和統計學中,數學期望(或均值,亦簡稱期望)是試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和,是最基本的數學特征之一,反映随機變量平均取值的大小。

需要注意的是,期望值并不一定等同于常識中的“期望”——“期望值”也許與每一個結果都不相等。

期望值是該變量輸出值的平均數,期望值并不一定包含于變量的輸出值集合裡。

後面,坤鵬論會專門寫期望值的文章,它會讓你對投資有更深一層的理解,這裡就先不贅述了。

而帕斯卡和費馬研究工作還标志着決策理論的開端,決策理論是當你不确定将要發生什麼時,決定做什麼的過程。

寫《與天為敵》一書的作者彼得·伯恩斯坦認為:“做出決策是風險管理重要的第一步。

而世界上第一本概率論的專著也和前面提到的賭博難題相關。

當時荷蘭數學家惠更斯正好來巴黎,也聽到這些難題,于是他回國後苦心鑽研,并并解決了擲骰子中的一些數學問題。

在1657年他将自己的研究成果寫成了專著《論擲骰遊戲中的計算》。

這應該是迄今為止被認為是概率論最早的專屬論著。

四、雅各布·伯努利的大數法則

在此之後,概率成了令數學家無比着迷的學術研究方向,比如有個叫約翰·阿布斯諾特的禦醫兼業餘數學家,他研究了“20歲的婦女是否有處女膜”的概率以及“20歲的花花公子沒得淋病”的概率。

概率的學術流行吸引了一位牛人,他叫雅各布·伯努利。

雅各布·伯努利來自瑞士天才甚至堪稱逆天的數學家族——伯努利家族,而這個家族可謂對概率論做出了傑出貢獻。

并且,在所有為概率論做出貢獻的著名思想家中,雅各布·伯努利可能是最重要的一位。

在1686年與友人的書信中,他提到了在網球比賽過程中預測結果的問題。

雅各布·伯努利一開始就意識到,這樣的競技賽事是人類而非機器在參與,因此簡單列舉所有結果絕無可能。

不過,他提出了一個很簡單的觀點:如果能收集到足夠多的曆史資料進行研究,那麼就有可能分析這種包含不确定性的複雜遊戲。

雅各布·伯努利的想法是,就算你無法直接得知一件事的真實概率,也能在觀察了足夠多次的結果後大緻估計出這件事的發生概率如何。

例如,如果有一枚兩面不均勻的硬币,隻要抛擲足夠多次,就能越來越準确地知道它正面或反面向上的概率。

雅各布·伯努利認為概率論是人類了解高深知識的捷徑。

而他以上這個想法就是鼎鼎大名的“大數法則”(大數定律),這個法則支撐了後來的保險業、投資業、賭博業,甚至是詐騙産業等。

讓我們來用雅各布·伯努利與其友人——偉大的數學家戈特弗裡德·萊布尼茨的通信内容進行一下介紹。

在一封信中,雅各布·伯努利舉了一個愚蠢遊戲的例子:

有一把裝滿黑球和白球的壺,難道你需要把每個球逐個數出來才能确定黑球對白球的比例是某個分數,比如2∶1嗎?

雅各布·伯努利認為不需要,如果基本确定這個比例大緻在201/100~199/100,他就能告訴你需要拿出多少球來查看以驗證你的想法。

他的意思是,研究的次數越多,你對壺中黑、白球比例的估計就越趨近于實際比例。

接着,他又在信中這樣寫道:

“如果你把壺換成一個老人或者年輕人的身體,而身體攜帶着的緻病細菌,就好比是壺中裝着的球,那麼進行觀察後,你就能以同樣的思路,知道老者離死亡的距離比年輕人近了多少。

“即使死亡數是無限的,我們卻能用有限次的觀察估計出兩種人死亡數的比例,反複觀察會使估計比例逐漸接近實際比例,直至兩者之間的差異難以被察覺,這個估計比例不完全準确,但從現實的角度而言已經足夠接近。

1705年,雅各布·伯努利曾這樣說道:“在類似條件下,一件事情未來的發生(或不發生)頻率将會與過去得出的情況保持一緻。

就像一直存在的詐騙電話,你會覺得騙子怎麼這麼傻,誰會信呢!

但是,人家騙子早就純熟地運用了大數法則,他們清楚地知道打多少電話會多少比率的人會上當,而且以前是這樣的比率,現在也是,未來還會是。

五、最早将概率論推向實際應用的拜爾推理

而最早将概率論推向實際應用的人叫做托馬斯·拜爾,他同樣是一位數學家。

1701年,拜爾出生于英國的一個普通家庭,比帕斯卡整整晚了100年。

他是英國皇家科學院院士,但終生沒有出版過任何數學專著,直到死後,才被人發現了他寫的《在機會原則中解決問題》的論文。

盡管該論文在當時也沒有引起人們的注意,但是,從後世看,它卻是一篇驚世之作,奠定了拜爾作為統計學家、經濟學家和社會學家的不朽地位,因為,它為投資提供了數學概率論的使用方法,被稱為拜爾推理。

通過拜爾推理提供的數學公式,我們可以基于可以獲得的信息,給每一個結果賦予一種可能,如果獲得了新的信息,原有的可能性将重新做出相應的調整,改變我們的預期,以及相應的概率。

坤鵬論舉個例子說明一下。

你和朋友玩擲骰子猜點數的遊戲,每一輪一個人可以偷看結果,并給出對方非直接結果的提示。

比如:你的朋友擲,你來猜,他擲完後,你猜中的概率是1/6,結果你沒猜中。

他偷看了一眼,告訴你:“這是一個偶數。

這樣你有了新信息,猜中的概率從1/6提升到了1/3,33%的可能性,可惜你還是沒能猜中。

他接着再次給你一個提示:“不是4。

這樣,你猜中的概率迅速提升為1/2,因為現在的範圍縮小到了隻有2和6,你猜中的概率是50%。

而這個就是拜爾推理,每一次新信息的增加,都會改變你猜中的可能性。

使用拜爾推理進行分析,需要将所有信息都融入推理或決策過程中,美國的大學會使用它幫助學生學習決定,并将其稱為決策樹理論。

樹的每個分支代表新的信息,反之也會影響決策概率。

六、重要的頻率概念

如果在投資中運用概率論,我們還要特别注意頻率這個概念,因為人們很容易把它和概率搞混。

和概率相比,兩者既有聯系也有本質的不同。

當我們抛一枚硬币50次,出現20次正面朝上,30次反面朝下,有些人會說,正面朝上的概率是2/5,這就是典型的将頻率和概率沒有區分出來。

在上面這個例子中,關于20次出現正面朝上,隻能說正面朝上的頻率是2/5,而不能說概率是多少。

頻率是在相同的條件下,進行了n次試驗,在這n次試驗中,事件A發生的次數m稱為事件A發生的頻數。

如果事件A發生的頻率随着實驗次數的逐漸增大,頻率呈現穩定性,并逐漸穩定于某個常數,這個常數就是事件A的概率,這種“頻率穩定性”也就是通常所說的統計規律性。

随機抛一枚硬币之後正面朝上的概率是1/2,擲出骰子之後,出現雙數的機率是1/2,如果一個盒子裝滿了藍和紅的玻璃球,70%為紅,30%為藍,那麼就有3/10的概率拿到藍色的球。

這些事件的可能性被稱為頻率解讀,而它是基于平均法則的。

如果一件不确定的事重複發生無數次,它發生的頻率就體現在它的可能性上。

比如:擲一枚硬币10萬次,出現正面朝上的機會預計有5萬次,注意,這裡不是說正好5萬次。

而大數法則認為,當無限次重複之後,相應的頻率和可能性應該是相同的。

頻率比概率更精準,而且頻率是某時間段某次實驗精确值,概率是整體事件的随機性,是宏觀的。 

理論上,對,理論上,擲硬币遊戲,出現正面朝上的概率是1/2,但是沒有任何人可以真的擲無數次。

還記得波普爾的可證僞性理論嗎?

對的,所有“科學理論”其實都是“迄今還沒有被證僞的理論”。

即使一個理論能夠暫時逃脫實驗的檢驗,即使一百萬次實驗都證實了假設,也不能保證一百萬零一次的實驗不會否定或拒絕假設,終有一天會暴露出來,從而遭到實驗的反駁或“證僞”。

而這個擲硬币的1/2概率同樣還是暫時沒有被證僞。

而投資不是擲硬币,充滿了不确定性,因為企業、股市、股票每秒都在發生着變化,正如古希臘自然哲學家赫拉克利特所說:一個人不可能兩次踏入同一條河流。

而大數法則的關鍵是基于平均法則的,這就牽扯到一個統計學著名的回歸平均概念,而巴菲特、格雷厄姆等投資大師,他們就是秉承對回歸平均的笃信進行下注,低買高賣獲得财富。

七、投資者一直在用的貝葉斯推斷

如果一個問題具有不确定性,我們就無法做出100%明确定義。

如果問題已經被定義明确,我們就可以列出各種可能的後果。

并且,如果一個不确定因素重複的次數足夠多,結果的頻率就能反映出不同結果的概率。

但是,如果我們關心的問題隻能出現一次,那難辦了,根本得不出概率。

比如:我們如何估計明天通過考試的概率,或是某隻球隊赢得世界杯的概率?

每一個個案,我們面臨的問題都不一樣。

對于通過考試的概率,我們似乎可以用以前考試的表現來估計,但是每次考試的内容肯定是不一樣的,而且我們的知識水平、準備工作等也已經發生了改變。

而球隊赢得世界杯,也可以拿過去的成績進行統計,但是,我們沒有足夠的數據統計每一位球員在相同環境下的表現記錄。

沒有大量重複的實驗,我們就無法得到頻率分布,也就無法計算可能性。

這個時候,我們隻要依靠自己對于可能性的主觀解讀,而在現實中,我們經常會這樣幹。

比如:通過考試的概率是90%,某球隊獲得世界杯的可能性是1/2,這些其實都是關于可能性的陳述,它是我們對一件事的相信程度。

這就引出了概率論又一個著名的理論——貝葉斯推斷。

距帕斯卡和費馬合作幾乎整整100年以後,一位叫托馬斯·貝葉斯的英國牧師(同時也是數學家),首先将歸納推理法用于概率論基礎理論,并創立了貝葉斯統計理論,對于統計決策函數、統計推斷、統計的估算等做出了貢獻。

在他的《機會問題的解法》一書中,貝葉斯提出了這樣一個問題:“給定一項未知事件已經發生和失敗的次數,求證該事件每次測試時的發生概率介于兩個指定數額之間的機會。

然後,他又對這個問題做出了解答:“任意事件的發生概率都是依據事件發生預期所估算出來的價值與預期事件發生機會的比率”。

這預示了一個現代公式,即期望效用等于事件發生概率乘以事件所帶來的收益。

貝葉斯推斷是一種統計學方法,用來估計統計量的某種性質,它是貝葉斯定理的應用。

貝葉斯推斷與其他統計學推斷方法截然不同。

它建立在主觀判斷的基礎上,也就是說,你可以不需要客觀證據,先估計一個值,然後根據實際結果不斷修正。

貝葉斯推斷認為,如果你相信你的假設是理性的,那麼對于一個特定事件的主觀可能性,就等同于實際發生的頻率可能性。

而你所要做的就是,剔除那些非理性、不符合邏輯的部分,保留理性的部分。

相當于是在一條舊信息的基礎上利用新信息推出概率,以統計學語言來說,是比較先驗概率和後驗概率。

起初,因為貝葉斯推斷的主觀性太強,相當多統計學家對其嗤之以鼻,而且它還需要大量計算,所以,在曆史很長一段時間,并不能得到廣泛應用。

而隻有到了計算機誕生并普及後,它才獲得真正的重視,如果它已經成為保險精算和風險管理的利器。

其實,在投資中貝葉斯推斷早就被投資者廣泛使用,隻是他們沒有感知而已。

比如:為了投資成功,投資者需要将曆史數據和最新發生的數據結合在一起進行考慮,這就是現實投資中的貝葉斯推斷。

另外,坤鵬論在《與天為敵》中看到一個不錯的例子,引用過來,讓大家更好地理解貝葉斯在統計推測方面功效。

假設有家生産大頭針的公司,它有兩家分廠,其中較老的那個廠占總産出的40%,這意味着随機挑出一枚大頭針,不管它是好是壞,有40%的可能來自老廠,但60%可能來自新廠,這是一個先驗概率。

我們又發現,老廠産品中的廢品是新廠的兩倍。

現在,如果一個客戶打電話抱怨,他發現了一個廢品。

那麼,公司經理應該打電話給哪個廠呢?

先驗概率說明廢品很可能來自新廠,因為它占總産出的60%。

但是,從另一方面講,新廠隻生産全公司廢品總量的1/3。

當我們修正先驗概率使之也反映這種新增信息時,新廠産出廢品的概率就隻有42.8%,而老廠産出廢品的概率是57.2%,這個新的估計就是後驗概率。

可以說,人類的1654年到1760年,相當神奇,現在人們用于風險管理和決策與選擇分析的所有工具,從概率率到博弈論,都産生于這些年的成就之中。


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